Définition
Définition d'un espace précompact :
- soit \((E,d)\) un espace métrique
- \(\forall\varepsilon\gt 0\), on peut recouvrir \(E\) d'un nombre fini de boules de rayon \(\varepsilon\)
$$\Huge\iff$$
- on dit que \(E\) est précompact
- on dit que \(A\subset E\) est précompact si c'est vrai pour la topologie induite
(//
Compact - Compacité)
Propriétés
Caractérisation
Proposition :
Un espace métrique est précompact si et seulement si de toute suite, on peut extraire une sous-suite de Cauchy
(
Espace métrique,
Suite de Cauchy)
Lien avec les compacts
Proposition :
Un espace métrique est compact si et seulement s'il est précompact et complet
